参考资料：

1 线性变换

在二维平面中，图形变换后坐标满足以下关系：

\begin{array}{r} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}

同时，该关系可以表示为矩阵形式：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

那么，我们称这种变化为线性变换。

线性变换包括缩放、反射、切变、旋转。

1.1 缩放

上图表示将左侧图形沿着x和y方向缩放相同的0.5倍（称之为均匀缩放），那么缩放后的坐标与原坐标关系为：

\begin{array}{r} x^{'} = 0.5 x \\ y^{'} = 0.5 y \end{array}

我们可以用矩阵来表示这个关系：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

上图表示将左侧图形沿着x和y方向分别缩放0.5倍和1被（称之为非均匀缩放），那么缩放后的坐标与原坐标关系为：

\begin{array}{r} x^{'} = 0.5 x \\ y^{'} = y \end{array}

我们可以用矩阵来表示这个关系：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

$S_x$ $S_y$ 倍，那么缩放后的坐标与原坐标关系为：

\begin{array}{r} x^{'} = s_{x} x \\ y^{'} = s_{y} y \end{array}

用矩阵表示为：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

上图表示将左侧图形以y方向做对称操作，那么对称后的坐标与原坐标关系为：

\begin{array}{r} x^{'} = - x \\ y^{'} = y \end{array}

可以用矩阵来表示为：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

上图表示将左侧图形底部固定，沿着x方向拉伸右上角的点，使其移动a个单位（称之为切变），那么切变后的坐标与原坐标关系为：

\begin{array}{r} x^{'} = x + a y \\ y^{'} = y \end{array}

可以用矩阵来表示为：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

$\theta$ 度，欲求旋转后坐标和原坐标的关系，我们可以选取旋转后的图形中的2个特殊点a个b来进行推导，根据线性变换的矩阵形式

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

$a$ $a^\prime$ 坐标带入到上面的矩阵中，得到

\begin{matrix} (\begin{matrix} c o s θ \\ s i n θ \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}

根据矩阵乘法，得到

\begin{matrix} c o s θ = 1 \cdot a + 0 \cdot b \\ s i n θ = 1 \cdot c + 0 \cdot d \end{matrix}

即

\begin{matrix} a = c o s θ \\ c = s i n θ \end{matrix}

$b$ $b^\prime$ 坐标带入到矩阵中可求得

\begin{matrix} b = - s i n θ \\ d = c o s θ \end{matrix}

从而得到旋转变换的矩阵表示为：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

$x$ $y$ $t_x$ $t_y$ 的距离，变换后坐标关系为：

\begin{array}{r} x^{'} = x + t_{x} \\ y^{'} = y + t_{y} \end{array}

而通过了解《齐次坐标》，我们知道可以用如下矩阵形式表示：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

$M$ $M^{-1}$ $M^{-1}$ $M$ 的逆变换，两者表示的矩阵满足：

M \cdot M^{- 1} = I (I 表 示 单 位 矩 阵)

$M^{-1}$ $M$ 的逆矩阵。

仿射变换由一次线性变换和一次平移变换组成，用矩阵形式表示为：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix}) \end{matrix}

引入齐次坐标后矩阵表示为：

\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b & t_{x} \\ c & d & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

在二维空间中，任何复杂的变换都可以分解成一个个的线性变换或者平移变换，以下图为例：

将最左侧图形以图中标记的点为中心，逆时针旋转一定的角度得到最右侧图形，理解起来很简单，但是纵观上文中讲解的所有变换，发现其不属于任何一种，我们可以称之为一个复杂变换。

$T(-c)$ $R(\alpha)$ $T(c)$ 得到最右侧图形。

用矩阵表示为：

T (c) \cdot R (α) \cdot T (- c)

注意，矩阵相乘的顺序为从右到左，对应变换操作的从前到后，由于矩阵相乘不满足交换律，所以矩阵的左右位置是固定不可变的，除非变换操作的顺序发生变化。